四十多天的寶寶咳嗽的治療方式包括藥物治療和日常護理。具體如下：

一、藥物治療：

1.霧化吸入：對于四十多天的寶寶，可采用霧化吸入的方式來治療。通過儀器將藥物霧化后讓寶寶吸入呼吸道內，通常能緩解咳嗽癥狀。常用藥物如硫酸沙丁胺醇霧化吸入溶液、硫酸特布他林霧化液等。

2.口服藥物：若霧化吸入效果不明顯，可在醫生指導下給寶寶服用化痰止咳類藥物。例如小兒化痰止咳顆粒、小兒清熱止咳口服液等，能較快緩解咳嗽情況。

二、日常護理：

1.補充水分：寶寶咳嗽時可少量多次喝溫水，補充足夠水分來緩解咳嗽癥狀。

2.拍背輔助：當寶寶咳嗽時，可用手輕拍寶寶背部，促使其咳出粘附在氣管上的分泌物，進而緩解咳嗽。

總之，四十多天的寶寶咳嗽需要綜合采用藥物治療和日常護理的方法來改善，同時要密切觀察寶寶情況，如有異常應及時就醫。